Question

在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,AE与BF相交于点G．

（1）如图1,求证：AE⊥BF；

（2）如图2,将△BCF沿BF折叠,得到△BPF,延长FP交BA的延长线于点Q,若AB=4,求QF的值.

Answer

（1）证明见解析；（2）QF=5．

【解析】试题（1）首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE=90°，即可证明AE⊥BF；（2）由△BCF沿BF对折，得到△BPF可得FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90，在利用角的关系求出QF=QB，设设QF=x，在Rt△BPQ中，利用勾股定理可建立关于x的方程解方程求出x的值即可．

试题解析：（1）∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF=BE，

在△ABE和△BCF中，

∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），

∴∠BAE=∠CBF，

又∵∠BAE+∠BEA=90°，

∴∠CBF+∠BEA=90°，

∴∠BGE=90°，

∴AE⊥BF；

（2）∵将△BCF沿BF折叠，得到△BPF，

∴FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°，

∵CD∥AB，

∴∠CFB=∠ABF，

∴∠ABF=∠PFB，

∴QF=QB，

设QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，

∴QB=x，PQ=x﹣2，

在Rt△BPQ中，∴x2=（x﹣2）2+42，

解得：x=5，

即QF=5．