Question

如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F，过点D作∠CDE＝∠DFE，DE交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G．

(1)求证：GE是⊙O的切线；

(2)若tanC＝，BE＝4，求AG的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)AG＝12．

【解析】

（1）连接，如图，先证明，再证明，然后利用得到，则，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）设，则，则可表示出，再利用得到，然后在中，根据勾股定理得到，再解方程求出即可得到结论.

(1)证明：连接OD，如图，

∵∠1＝∠2，

而∠2＝∠3，

∴∠3＝∠1，

∵OC⊥AB，

∴∠3+∠C＝90°，

∴∠1+∠C＝90°，

而OC＝OD，

∴∠C＝∠4，

∴∠1+∠4＝90°，即∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE，

∴GE是⊙O的切线；

(2)【解析】
设OF＝x，则OC＝3x，

∴BF＝2x，

∵∠1＝∠2，

∴ED＝EF＝2x+4，

在Rt△ODE中，

∵OD2+DE2＝OE2，

∴(3x)2+(2x+4)2＝(4+3x)2，解得x＝2，

∴OD＝6，DE＝8，OE＝10

又∵△AGE∽△DOE，

AE＝16，

可得AG＝12．