Question

如图1，抛物线y＝﹣x²+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若点M在抛物线上，且S_△AOM＝2S_△BOC，求点M的坐标；

(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN长度的最大值．

Answer

（1）y=﹣x2﹣x+2； （2）（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）；（3）1.

【解析】

（1）把点A、C的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；

（2）设M点坐标为（m，n），根据S△AOM=2S△BOC列出关于m的方程，解方程求出m的值，进而得到点P的坐标；

（3）先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+2，再设N点坐标为（x，x+2），则D点坐标为（x，-x2-x+2），然后用含x的代数式表示ND，根据二次函数的性质即可求出线段ND长度的最大值．

【解析】
（1）A（﹣2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y=﹣x2+mx+n，

得，

解得，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2．

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+2，则易得B（1，0），设M（m，n）然后依据S△AOM=2S△BOC列方程可得：

•AO×|n|=2××OB×OC，

∴×2×|﹣m2﹣m+2|=2，

∴m2+m=0或m2+m﹣4=0，

解得m=0或﹣1或，

∴符合条件的点M的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（，﹣2）或（，﹣2）．

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣2，0），C（0，2）代入

得到，解得，

∴直线AC的解析式为y=x+2，

设N（x，x+2）（﹣2≤x≤0），则D（x，﹣x2﹣x+2），

ND=（﹣x2﹣x+2）﹣（x+2）=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1，

∵﹣1＜0，

∴x=﹣1时，ND有最大值1．

∴ND的最大值为1．