Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0）的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．

（1）求反比例函数和一次函数的表达式；

（2）如果点P是x轴上的一点，且△ABP的面积是3，求点P的坐标；

（3）若P是坐标轴上一点，且满足PA＝OA，直接写出点P的坐标．

Answer

（1）y＝；y＝x﹣2；（2）点P的坐标为(0，0)、(4，0)；（3）点P的坐标为(6，0)或(0，2)．

【解析】

（1）将点A（3，1）代入y=，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再将点A（3，1）和B（0，-2）代入y=kx+b，利用待定系数法求得一次函数的解析式；

（2）首先求得AB与x轴的交点C的坐标，然后根据S△ABP=S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的横坐标；

（3）分两种情况进行讨论：①点P在x轴上；②点P在y轴上．根据PA=OA，利用等腰三角形的对称性求解．

（1）∵反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（3，1），

∴3=，解得m=3．

∴反比例函数的表达式为y=．

∵一次函数y=kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，-2），

∴，

解得：，

∴一次函数的表达式为y=x-2；

（2）如图，设一次函数y=x-2的图象与x轴的交点为C．

令y=0，则x-2=0，x=2，

∴点C的坐标为（2，0）．

∵S△ABP=S△ACP+S△BCP=3，

∴PC×1+PC×2=3，

∴PC=2，

∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）；

（3）若P是坐标轴上一点，且满足PA=OA，则P点的位置可分两种情况：

①如果点P在x轴上，那么O与P关于直线x=3对称，

所以点P的坐标为（6，0）；

②如果点P在y轴上，那么O与P关于直线y=1对称，

所以点P的坐标为（0，2）．

综上可知，点P的坐标为（6，0）或（0，2）．