Question

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．

（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

Answer

【解析】
（1）把A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax2+bx+c中，得

，解这个方程组，得。

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x。

（2）由y=﹣x2+x=﹣（x﹣1）2+，可得

抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB。

∴OM=BM。∴OM+AM=BM+AM。

连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小。

过点A作AN⊥x轴于点N，

在Rt△ABN中，，

因此OM+AM最小值为。

【解析】

二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解方程组，二次函数的性质，线段中垂线的性质，三角形三边关系，勾股定理。

（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长。

对x=1上其它任一点M′，根据三角形两边之和大于第三边的性质，总有：

O M′+A M′=" B" M′+A M′＞AB=OM+AM，

即OM+AM为最小值。