Question

如图，是⊙的直径，是⊙的切线，点为切点，与⊙交于点，点是的中点，连结．

（1）求证：是⊙的切线；

（2）若，，求阴影部分的面积．

Answer

（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）连结OC，AC，由切线性质知Rt△ACP中DC=DA，即∠DAC=∠DCA，再结合∠OAC=∠OCA知∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°，据此即可得证；
（2）先求出OA=1，BP=2AB=4，AD＝ ,再根据S阴影=S四边形OADC-S扇形AOC即可得．

（1）连结，如图所示：

∵是⊙的直径，是切线，

∴，，

∵点是的中点，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

即，

∴是⊙的切线；

（2）∵在中，，

∴，

∴，

∴，，，

∴．