Question

直线与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？

Answer

详见解析

【解析】

（1）首先求出点A，点C的坐标；然后利用待定系数法求出抛物线的解析式。

（2）AC为定值，当DE最大时，△ACD的面积最大，因此只需要求出△ACD面积的最大值即可。如图所示，作辅助线，利用S△ACD=S梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG求出S△ACD的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值，并进而求出点D的坐标和DE的最大值。

【解析】
（1）在直线解析式中，令x=0，得y=﹣2；令y=0，得x=4，

∴A（4，0），C（0，﹣2）。

设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵点A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）在抛物线上，

∴，解得。

∴抛物线的解析式为：。

（2）设点D坐标为（x，y），。

在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，由勾股定理得：AC=。

如图，连接CD、AD，过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD的延长线于点G，

则FD=x，DG=4﹣x，OF=AG=y，FC=y+2。

S△ACD=S梯形AGFC﹣S△CDF﹣S△ADG

=（AG+FC）•FG﹣FC•FD﹣DG•AG

=（y+y+2）×4﹣（y+2）•x﹣（4﹣x）•y

=2y﹣x﹣4

将代入得：S△ACD=2y﹣x﹣4=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4。

∴当x=2时，△ACD的面积最大，最大值为4。

当x=2时，y=1，∴D（2，1）。

∵S△ACD=AC•DE，AC=，

∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，

则DE的最大值为：。

∴当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为（2，1），最大距离为。