Question

如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到B时，P，Q两点停止运动，设P点运动时间为t(s)．

(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

(2)设四边形APQC的面积为y(cm²)，求y关于t的函数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小面积．

Answer

（1）当t为1或2时，△PBQ是直角三角形；（2）当t为时，四边形APQC的面积最小，最小面积为cm2.

【解析】

（1）分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°；在直角三角形中利用30°角所对直角边等于斜边一半求解即可；

（2）用△ABC的面积-△PBQ的面积表示出四边形APQC的面积，即可得出y，t的函数关系式,再将函数关系式转化为顶点式，即可求出最小值.

(1)由题意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝tcm.若△PBQ是直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°，于是BQ＝BP或BP＝BQ，即t＝ (3－t)或3－t＝t.解得t＝1或t＝2，即当t为1或2时，△PBQ是直角三角形．

(2)如图，过点P作PM⊥BC于点M，

则易知BM＝BP＝ (3－t)cm.

∴PM＝＝ (3－t)cm.

∴S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ＝×3×－t· (3－t)＝t2－t＋，即y＝t2－t＋，易知0