Question

某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台，空调的采购单价y₁（元/台）与采购数量x₁（台）满足y₁=﹣20x₁+1500（0＜x₁≤20，x₁为整数）；冰箱的采购单价y₂（元/台）与采购数量x₂（台）满足y₂=﹣10x₂+1300（0＜x₂≤20，x₂为整数）．

（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？

（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．

Answer

（1）5 （2）采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．

【解析】

试题（1）由题意可设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，根据题中的不等量关系可列出关于x的不等式组，求解得到x的取值范围，再根据空调台数是正整数确定进货方案；

（2）按常规可设总利润为W元，根据总利润等于空调和冰箱的利润之和整理得到W与x的函数关系式，整理成顶点式形式，然后根据二次函数的性质求出最大值即可．

试题解析：（1）设空调的采购数量为x台，则冰箱的采购数量为（20﹣x）台，

由题意得，，

解不等式①得，x≥11，

解不等式②得，x≤15，

所以，不等式组的解集是11≤x≤15，

∵x为正整数，

∴x可取的值为11、12、13、14、15，

所以，该商家共有5种进货方案；

（2）设总利润为W元，

y2=﹣10x2+1300=﹣10（20﹣x）+1300=10x+1100，

则W=（1760﹣y1）x1+（1700﹣y2）x2，

=1760x﹣（﹣20x+1500）x+（1700﹣10x﹣1100）（20﹣x），

=1760x+20x2﹣1500x+10x2﹣800x+12000，

=30x2﹣540x+12000，

=30（x﹣9）2+9570，

当x＞9时，W随x的增大而增大，

∵11≤x≤15，

∴当x=15时，W最大值=30（15﹣9）2+9570=10650（元），

答：采购空调15台时，获得总利润最大，最大利润值为10650元．