Question

如图，直线y=4－x与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外)，过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于点D。

（1）当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长为________；

（2）当四边形OCMD为正方形时，将正方形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为a (0<a≤4)，在平移过程中：

①当平移距离a=1时, 正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为________；

②当平移距离a是多少时，正方形OCMD的面积被直线AB分成l：3两个部分?

Answer

（1）8；（2）①3.5；②a=或

【解析】

试题（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为-x+4（0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0）根据四边形的周长计算方法计算即可发现，当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8．

（2）①当0＜a≤2时，S=4-a2=-a2+4,并且a=1可求出重叠部分的面积；

②当四边形为OCMD为正方形时，先求得正方形的边长，从而可求得正方形的面积，可求得正方形被直线分成的较小的部分的面积为1，然后再证明“较小的部分”为等腰直角三角形，从而可求得该等腰直角三角形的直角边的长度，于是可求得平移的距离．

试题解析：（1）（1）设OC=x，则CM=4-x．

∵MC⊥OA，MD⊥OB，OD⊥OC，

∴四边形OCMD为矩形，

∴四边形OCMD的周长=OD+OC+CM+DM=2（CO+CM）=2（x+4-x）=2×4=8．

（2）①如图（ 2 ），当0＜a≤2时，S=S四边形O′CMD-S△MEF=4-a2=-a2+4，

②∵当四边形为OCMD为正方形时，OC=CM，即x=4-x，解得：x=2，

∴S正方形OCMD的面积=4．

∵正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分，

∴两部分的面积分别为1和3．

当0＜a≤2时，如图1所示：

∵直线AB的解析式为y=4-x，

∴∠BAO=45°．

∴△MM′E为等腰直角三角形．

∴MM′=M′E．

∴MM′2=1．

∴MM′=，即a=

当2＜a＜4时，如图2所示：

∵∠BAO=45°，

∴△EO′A为等腰直角三角形．

∴EO′=O′A．

∴O′A2=1，解得：O′A=．

∵将y=0代入y=4-x得；4-x=0，解得：x=4，

∴OA=4．

∴OO′=4-，即a=4-．

综上所述，当平移的距离为a=或a=4−时，正方形OCMD的面积被直线AB分成1：3两个部分．