Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：AF=DC；

（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer

【解析】
（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE。

∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE=DE，BD=CD。

在△AFE和△DBE中，∵∠AFE=∠DBE，∠FEA=∠BED， AE=DE，

∴△AFE≌△DBE（AAS）。∴AF=BD。

∴AF=DC。

（2）四边形ADCF是菱形，证明如下：

∵AF∥BC，AF=DC，∴四边形ADCF是平行四边形。

∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=DC。

∴平行四边形ADCF是菱形

【解析】

试题（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案。

（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可。