Question

已知：如图,PA、PB是⊙O的切线;A、B是切点;连结OA、OB、OP.

①若∠COP=∠DOP，求证：AC=BD；

②连结CD，设△PCD的周长为l，若l=2AP，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由.

Answer

①详见解析；②直线CD与⊙O相切，理由详见解析.

【解析】

①由（1）知△PAO≌△PBO，得到∠POB=∠POA；再利用AAS判定△AOC≌△BOD，从而得到AC=BD；
②本题要充分利用l=2AP的条件．延长射线PA到F，使AF=BD；易证得△OAF≌△OBD（SAS），得OF=OD；由于l=2AP，即l=PA+PB=PC+PD+CD，因此CD=AC+BD=AC+AF=CF；
在△OCF和△OCD中，OF=OD，OC=OC，FC=CD；可证得△OCF≌△OCD，那么两三角形的对应边上的高也相等，则过O作OE⊥CD，则OE=OA，由此可证得CD与⊙O相切．

①∵∠COP=∠DOP，∠CPO=∠DPO，PO=PO, ∴△OCP≌△ODP,∴CP=DP.

又可证△OPA≌OPB得PA=PB, ∴AC=BD.

②作OE⊥CD于E，设OE=d，CE=x，DE=y. 则d2=AC2+AO2-x2=BD2+OA2-y2.

∴(AC+x)(AC-x)- (BD+y)(BD-y)=0, ∵l=2AP=2BP，∴x+y=AC+BD, ∴AC-x=y-BD.

∴(AC+x)(y-BD)- (BD+y)(BD-y)=0, ∴(y-BD) (AC+x+BD+y)=0.

∵AC+x+BD+y≠0，∴y=BD, 即d=AO，∴直线CD与⊙O相切.