Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F.

(1)求证：BE＝CE；

(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题（1）利用切线长定理得出AD=AF，BD=BE，CE=CF，进而得出BD=CF，即可得出答案；

（2）首先连接OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA=∠OFA=∠A=90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．

试题解析：（1）∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴AD=AF，BD=BE，CE=CF.

∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AF，即BD=CF.

∴BE=CE.

（2）如图，连接OD、OF，

∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA=∠OFA=∠A=90°.

又OD=OF，∴四边形ODAF是正方形.

设OD=AD=AF=r，则BE=BD=CF=CE=.

在△ABC中,∠A=90°，∴.

又BC=BE+CE，∴，解得：r=.

∴⊙O的半径是.