Question

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

Answer

【解析】
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°。

∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°。∴∠ABE=∠DAF。

∵在△ABE和△DAF中，，

∴△ABE≌△DAF（ASA）。

∴AF=BE。

（2）MP与NQ相等。理由如下：

如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则四边形AMPF、BNQE都是是平行四边形，所以，MP=AF，NQ=BE，由（1）AF=BE，即得MP=NQ。

【解析】

试题（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可。

（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则四边形AMPF、BNQE都是是平行四边形，所以，MP=AF，NQ=BE，由（1）AF=BE，即得MP=NQ。