Question

如图，矩形纸片ABCD（AD＞AB）中，将它折叠，使点A与点C重合，折痕EF交AD于点E，交BC于点F，交AC于点O，连结AF，CE.

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AE＝8，△ABF的面积为9，求AB＋BF的值.

Answer

(1)见解析;(2)10.

【解析】

（1）当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，由OA=OC，得∠AOE=∠COF=90°，由题意得AD∥BC，∠EAO=∠FCO，可证明△AOE≌△COF，从而得出∴四边形AFCE是菱形．

（2）根据四边形AFCE是菱形，得出AF=AE=8，在Rt△ABF中，利用勾股定理得AB2+BF2=AF2，AB2+BF2=82，即可得出（AB+BF）2-2AB•BF=64①，根据△ABF的面积为9，可求得AB•BF=18②，再由①、②得：（AB+BF）2=100，得出AB+BF=10．

（1）证明：当顶点A与C重合时，折痕EF垂直平分AC，

∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，

∵在矩形ABCD中，AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，

∴四边形AFCE是平行四边形,

又∵EA=EC

∴平行四边形AFCE是菱形.

（2）∵四边形AFCE是菱形，

∴AF=AE=8，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，

∴AB2+BF2=64，∴（AB+BF）2-2AB·BF=64①，

∵△ABF的面积为9，

∴AB·BF=9，

∴AB·BF=18②，

由①、②得：（AB+BF）2=100，

∵AB+BF＞0，

∴AB+BF=10.