Question

（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．

Answer

（1）见解析. （2）见解析. （3）△DEF为等边三角形．见解析.

【解析】

（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；

（2）由∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝120°，就可以求出∠BAD＝∠ACE，进而由AAS就可以得出△BAD≌△ACE，就可以得出BD＝AE，DA＝CE，即可得出结论；

（3）由等边三角形的性质，可以求出∠BAC＝120°，就可以得出△BAD≌△ACE，就有BD＝AE，进而得出△BDF≌△AEF，得出DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，而得出∠DFE＝60°，就有△DEF为等边三角形．

（1）如图1，

∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA＝∠CEA＝90°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠CAE＝90°

∵∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠CAE＝∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE+AD＝BD+CE；

（2）如图2，

∵∠BDA＝∠BAC＝α，

∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，

∴∠DBA＝∠CAE，

在△ADB和△CEA中，

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE＝BD，AD＝CE，

∴DE＝AE+AD＝BD+CE；

（3）如图3，

由（2）可知，△ADB≌△CEA，

∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，

∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，

∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF＝∠FAE，

∵在△DBF和△EAF中，

，

∴△DBF≌△EAF（SAS），

∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，

∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°，

∴△DEF为等边三角形．