Question

（2011•德州）如图 AB=AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．

（1）求证AD=AE；

（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

Answer

（1）证明：在△ACD与△ABE中，

∵∠A=∠A，∠ADC=∠AEB=90°，AB=AC，

∴△ACD≌△ABE，

∴AD=AE．

（2）互相垂直，

在Rt△ADO与△AEO中，

∵OA=OA，AD=AE，

∴△ADO≌△AEO，

∴∠DAO=∠EAO，

即OA是∠BAC的平分线，

又∵AB=AC，

∴OA⊥BC．

【解析】

试题（1）根据AAS推出△ACD≌△ABE，根据全等三角形的性质得出即可；

（2）证Rt△ADO≌Rt△AEO，推出∠DAO=∠EAO，根据等腰三角形的性质推出即可．

试题解析：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
△ACD和△ABE中，
∵

∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AD=AE．
（2）猜想：OA⊥BC．
证明：连接OA、BC，

∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEB=90°．
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
∵
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL）．
∴∠DAO=∠EAO，
又∵AB=AC，
∴OA⊥BC．