Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是直线AB上的一动点（不和A、B重合），BE⊥CD于E，交直线AC于F

（1）点D在边AB上时，试探究线段BD、AB和AF的数量关系，并证明你的结论；

（2）点D在AB的延长线或反向延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出正确结论并证明。

Answer

（1）AB=AF+BD，证明详见解析；（2）不成立，点D在AB的延长线上时，AB=AF-BD；点D在AB的反向延长线上时，AB=BD-AF，证明详见解析.

【解析】

（1）根据已知条件易证△FAB≌△DAC，由全等三角形的性质可得FA=DA，由此即可证得AB=AD+BD=FA+BD；（2）由于点D的位置在变化，因此线段AF、BD、AB之间的大小关系也会相应地发生变化，只需画出图象并借鉴（1）中的证明思路就可解决问题．

（1）AB=FA+BD．

证明：如图，

∵BE⊥CD即∠BEC=90°，∠BAC=90°，

∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．

∴∠FBA=∠FCE．

∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，

∴∠FAB=∠DAC．

在△FAB和△DAC中，．

∴△FAB≌△DAC（ASA）．

∴FA=DA．

∴AB=AD+BD=FA+BD．

（2）（1）中的结论不成立．

点D在AB的延长线上时，AB=AF-BD；点D在AB的反向延长线上时，AB=BD-AF．

理由如下：

点D在AB的延长线上时，如图2．

类比（1）的方法可得：FA=DA．

则AB=AD-BD=AF-BD．

②点D在AB的反向延长线上时，如图3．

类比（1）的方法可得：FA=DA．

则AB=BD-AD=BD-AF．