Question

（1）观察图形：

如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F．

①写出图1中所有的全等三角形_________________；

②线段AF与线段CE的数量关系是_________________；

（2）问题探究：

如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E．

求证：AE=2CD．

（3）拓展延伸：

如图3，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，点D在AC上，∠EDC=∠BAC，DE⊥CE，垂足为E，DE与BC交于点F．

求证：DF=2CE．

Answer

（1）①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF=2CE；（2）答案见解析；（3）答案见解析

【解析】

试题观察图形：①由全等三角形的判定方法容易得出结果；
②由全等三角形的性质即可得出结论；
问题探究：延长交于点，由ASA证明≌，得出对应边相等 即 证出 由ASA证明≌得出即可．
拓展延伸：作DG⊥BC于点H，交CE的延长线于G，同上证明三角形全等，得出即可．

试题解析：

（1）观察图形：

①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；

②AF=2CE；

（2）问题探究：

证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示：

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD=∠GAD，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=∠ADG=90°，

在△ADC和△ADG中，

，

∴△ADC≌△ADG（ASA），

∴CD=GD，

即CG=2CD，

∵∠BAC=45°，AB=BC，

∴∠ABC=90°，

∴∠CBG=90°，

∴∠G+∠BCG=90°，

∵∠G+∠BAE=90°，

∴∠BAE=∠BCG，

在△ABE和△CBG中，

∴△ADC≌△CBG（ASA），

∴AE=CG=2CD．

（3）拓展延伸：

证明：作DG⊥BC于点H，交CE的延长线于G，

∵∠BAC=45°，AB=BC，

∴AB⊥BC，

∴DG∥AB，

∴∠GDC=∠BAC=45°，

∴∠EDC=∠BAC=22.5°=∠EDG，DH=CH，

又∵DE⊥CE，

∴∠DEC=∠DEG=90°，

在△DEC和△DEG中，

∴△DEC≌△DEG（ASA），

∴DC=DG，CG=2CE，

∵∠DHF=∠CEF=90°，∠DFH=∠CFE，

∴∠FDH=∠GCH，

在△DHF和△CHG中，

∴△DHF≌△CHG（ASA）,

∴DF=CG=2CE．