Question

如图，△ABC 内接于半⊙O，AB 为直径，弦 AD 平分∠CAB，DE 切⊙O 于点 D．

（1）    求证：DE∥BC

（2）    若 AD＝BC，⊙O 半径为 2，求∠CAD 与弧CD围成区域的面积．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OD．只要证明DE⊥OD，BC⊥OD即可解决问题；

（2）只要证明△COD是等边三角形，可得∠CDO=∠DOB=60°，推出CD∥AB，推出S△ACD=S△COD，可得∠CAD与围成区域的面积=扇形OCD的面积，由此即可解决问题．

（1）证明：连接OD．

∵DE是⊙O切线，

∴OD⊥DE，

∵AD平分∠CAB，

∴∠DAC=∠DAB，

∴=，

∴OD⊥BC，

∴DE∥BC．

（2）∵AD=BC，

∴=，

∴=，∵=，

∴==，

∴∠COD=∠BOD=60°，

∵OC=OD，

∴△COD是等边三角形，

∴∠CDO=∠DOB=60°，

∴CD∥AB，

∴S△ACD=S△COD，

∴∠CAD与围成区域的面积=扇形OCD的面积==π．