Question

如图，动直线 y＝kx+2（k＞0）与 y 轴交于点 F，与抛物线 y＝ 相交于A，B 两点，过点 A，B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为点 C，D，连接 CF，DF，请你判断△CDF 的形状，并说明理由．

Answer

△CFD 是直角三角形．见解析。

【解析】

先列方程：x2+1＝kx+2，解出可得点A、B的横坐标，可得DC、CF、DF的平方，根据勾股定理的逆定理可得结论：∠CFD=90°．

x2+1＝kx+2，

x2﹣kx﹣1＝0，

x＝2k±2，

∴x1＝2k﹣2，x2＝2k+2，

∴OD＝2k+2，OC＝2﹣2k，

DC2＝（2k+2+2﹣2k）2＝16（k2+1），

CF2＝22+（2 ﹣2k）2＝8k2﹣8k+8，

DF2＝22+（2k+2）2＝8k2+8k+8，

∴DC2＝CF2+DF2，

∴∠CFD＝90°，

故△CFD 是直角三角形．