Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+3与直线y＝x﹣3交于点A（3，0）和点B（﹣2，n），与y轴交于点C．

（1）求出抛物线的函数表达式；

（2）在图1中，平移线段AC，点A、C的对应点分别为M、N，当N点落在线段AB上时，M点也恰好在抛物线上，求此时点M的坐标；

（3）如图2，在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点P（不与点A重合），使△PMC的面积与△AMC的面积相等？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）M点坐标为（4，﹣2）；（3）P点坐标为（，）或（，）或（，）．

【解析】

（1）先利用直线解析式确定B（﹣2，﹣5），然后利用待定系数法求抛物线解析式；

（2）解方程组﹣x2+2x+3＝0得A（3，0），易得C（0，3），设N（t，t﹣3），利用点利用的规律当点N先向下平移3个单位，再向右平移3个单位得到点M，则M（t+3，t﹣6），把M（t+3，t﹣6）代入y＝﹣x2+2x+3得t﹣6＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，当点N先向上平移3个单位，再向左平移3个单位得到点M，则M（t﹣3，t），把M（t﹣3，t）代入y＝﹣x2+2x+3得t＝﹣（t﹣3）2+2（t﹣3）+3，然后解方程求出t得到满足条件的M点坐标；

（3）利用待定系数法求出直线MC的解析式为y＝﹣x+3，利用AP∥MC可设AP的解析式为y＝﹣x+p，则AP的解析式为y＝﹣x+，通过解方程组得此时P点坐标；再利用平移的方法得到再直线CM下方得到直线y＝﹣x+到直线CM的距离等于直线y＝﹣x+到直线CM的距离相等，然后解方程得此时P点坐标．

（1）把（﹣2，n）代入y＝x﹣3得n＝﹣2﹣3＝﹣5，则B（﹣2，﹣5），

把A（3，0），B（﹣2，﹣5）代入得，解得，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（3，0），

当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3）

设N（t，t﹣3），

∵AC平移得到MN，

∴AC∥MN，AC＝MN，

而点C先向下平移3个单位，再向右平移3个单位得到点A，

当点N先向下平移3个单位，再向右平移3个单位得到点M，则M（t+3，t﹣6），

把M（t+3，t﹣6）代入y＝﹣x2+2x+3得t﹣6＝﹣（t+3）2+2（t+3）+3，解得t1＝1，t2＝﹣6，

∴M点的坐标为（4，﹣5），（﹣3，﹣12）（舍去）

当点N先向上平移3个单位，再向左平移3个单位得到点M，则M（t﹣3，t），

把M（t﹣3，t）代入y＝﹣x2+2x+3得t＝﹣（t﹣3）2+2（t﹣3）+3，解得t1＝3（舍去），t2＝4，

∴M点的坐标为（﹣1，4）（舍去），

综上所述，M点坐标为（4，﹣2）；

（3）设直线CM的解析式为y＝mx+n，

把C（0，3），M（4，﹣2）代入得，

∴直线MC的解析式为y＝﹣x+3，

∵△PMC的面积与△AMC的面积相等，

∴AP∥MC，

设AP的解析式为y＝﹣x+p，

把A（3，0）代入得p＝，

∴AP的解析式为y＝﹣x+，

解方程组得或，此时P点坐标为（，）；

直线AP的解析式为y＝﹣x+与y轴的交点坐标为（0，），

∵﹣3＝，

把直线CM向下平移个单位得到y＝﹣x+，

解方程得或，此时P点坐标为（），（），

综上所述，P点坐标为（，）或（）或（）．