Question

如图，直线y=2x+6与反比例函数y=（k＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．

（1）求m的值和反比例函数的表达式；

（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x+6﹣＜0的解集；

（3）直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？

Answer

（1）反比例函数的解析式为y=；（2）0＜x＜1；（3）．

【解析】（1）把点A（1，m）代入直线y=2x+6，求出m的值，再把点A的坐标代入y=，利用待定系数法即可解决问题；

（2）根据图像在上面的函数值大于图像下面的函数值写出答案即可；

（3）构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

（1）∵直线y=2x+6经过点A（1，m），

∴m=2×1+6=8，

∴A（1，8），

∵反比例函数经过点A（1，8），

∴k=8，

∴反比例函数的解析式为y=．

（2）不等式2x+6﹣＜0的解集为0＜x＜1．

（3）由题意，点M，N的坐标为M（，n），N（，n），

∵0＜n＜6，

∴＜0，

∴﹣＞0

∴S△BMN=|MN|×|yM|=×（﹣）×n=﹣（n﹣3）2+，

∴n=3时，△BMN的面积最大，最大值为．