Question

如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点P在BC上．若点P为BC的中点，则m＝AP²+BP•PC的值为多少？若BC边上有100个不同的点P₁，P₂，…，P₁₀₀，且m_i＝AP_i²+BP_i•P_iC（i＝1，2，…，100），则m＝m₁+m₂+…+m₁₀₀ 的值为多少？

Answer

4，400．

【解析】

第一个空,由等腰三角形的三线合一性质和勾股定理得出AP2+BP2＝AB2即可;第二个空,作AD⊥BC于D.根据勾股定理,得APi2＝AD2+DPi2＝AD2+（BD﹣BPi）2＝AD2+BD2﹣2BD•BPi+BPi2，PiB•PiC＝PiB•（BC﹣PiB）＝2BD•BPi﹣BPi2,从而求得m1＝AD2+BD2＝AB2,即可求解.

【解析】
若点P为BC的中点，如图1所示：

AB＝AC＝2，

∴AP⊥BC，BP＝CP，

∴∠APB＝90°，

∴AP2+BP•PC＝AP2+BP2＝AB2＝4．

若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，

作AD⊥BC于D，则BC＝2BD＝2CD，如图2所示．

根据勾股定理，得

APi2＝AD2+DPi2＝AD2+（BD﹣BPi）2＝AD2+BD2﹣2BD•BPi+BPi2，

又∵PiB•PiC＝PiB•（BC﹣PiB）＝2BD•BPi﹣BPi2，

∴m1＝AD2+BD2＝AB2＝4，

∴m1+m2+…+m100＝4×100＝400．

故答案为：4，400．