Question

在四边形ABCD中，点E为AB边上一点，点F为对角线BD上的一点，且EF⊥AB．

（1）若四边形ABCD为正方形；

①如图1，请直接写出AE与DF的数量关系；

②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE、DF，猜想AE与DF的数量关系并说明理由；

（2）如图3，若四边形ABCD为矩形，BC＝mAB，其它条件都不变，将△EBF绕点B逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E′BF′，连接AE′，DF′，请在图3中画出草图，并求出AE′与DF′的数量关系．

Answer

(1)①DF＝ AE

②DF＝AE.理由见解析； (2) DF′＝ AE′.

【解析】

试题（1）①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形，则BF=AB，再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF=BE，所以BD﹣BF=AB﹣BE，从而得到DF=AE；

②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF，加上=，则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF，所以=；

（2）先画出图形得到图3，利用勾股定理得到BD=AB，再证明△BEF∽△BAD得到，则=，接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，所以=，然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′，再利用相似的性质可得=．

试题解析：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴△ABD为等腰直角三角形，∴BF=AB，∵EF⊥AB，∴△BEF为等腰直角三角形，BF=BE，∴BD﹣BF=AB﹣BE，即DF=AE；

故答案为：DF=AE；

②DF=AE．理由如下：

∵△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，∴∠ABE=∠DBF，∵ =， =，∴，∴△ABE∽△DBF，∴=，即DF=AE；

（2）如图3，

∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=mAB，∴BD==AB，∵EF⊥AB，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴，∴=，∵△EBF绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△E'BF'，∴∠ABE′=∠DBF′，BE′=BE，BF′=BF，∴=，∴△ABE′∽△DBF′，∴=，即DF′=AE′．