Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．

（1）如图1，当点P在线段BC上时，试猜想写出线段CP与BQ的数量关系，并证明你的猜想；

（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？（直接写“成立”或“不成立”即可，不需证明）．

Answer

(1) BQ＝CP．理由见解析;(2) 成立：PC＝BQ, 理由见解析.

【解析】

（1）由∠ACB=90°，∠A=30°得到∠ABC=60°，根据直角三角形斜边上中线性质得到OB=OC，则可判断△OCB、△CPH为等边三角形，作辅助线PH∥AB交CO于H，证明△POH≌△QPB全等可得PH＝QB= PC；

(2)与（1）的证明方法同样得到△POH≌△QPB，可得PH＝QB= PC。

【解析】
（1）结论：BQ＝CP．

理由：如图1中，作PH∥AB交CO于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，

∴CO＝AO＝BO，∠CBO＝60°，

∴△CBO是等边三角形，

∴∠CHP＝∠COB＝60°，∠CPH＝∠CBO＝60°，

∴∠CHP＝∠CPH＝60°，

∴△CPH是等边三角形，

∴PC＝PH＝CH，

∴OH＝PB，

∵∠OPB＝∠OPQ+∠QPB＝∠OCB+∠COP，

∵∠OPQ＝∠OCP＝60°，

∴∠POH＝∠QPB，

∵在△POH与△QPB中

，

∴△POH≌△QPB（SAS），

∴PH＝QB，

∴PC＝BQ．

（2）成立：PC＝BQ．

理由：作PH∥AB交CO的延长线于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，

∴CO＝AO＝BO，∠CBO＝60°，

∴△CBO是等边三角形，

∴∠CHP＝∠COB＝60°，∠CPH＝∠CBO＝60°，

∴∠CHP＝∠CPH＝60°，

∴△CPH是等边三角形，

∴PC＝PH＝CH，

∴OH＝PB，

∵∠POH＝60°+∠CPO，∠QPO＝60°+∠CPQ，

∴∠POH＝∠QPB，

∵在△POH与△QPB中

，

∴△POH≌△QPB（SAS），

∴PH＝QB，

∴PC＝BQ．