Question

如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD，过点C作CE⊥DB，垂足为E，直径AB与CE的延长线相交于F点．

（1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）当BD＝，sinF＝时，求OF的长．

Answer

（1）见解析；（2）OF＝5．

【解析】

（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；

（2）连接AD．由圆周角定理得出∠D＝90°，证出∠BAD＝∠F，得出sin∠BAD＝sin∠F＝，求出AB＝BD＝6，得出OB＝OC＝3，再由sinF＝即可求出OF．

（1）连接OC．如图1所示：

∵OA＝OC，

∴∠1＝∠2．

又∵∠3＝∠1+∠2，

∴∠3＝2∠1．

又∵∠4＝2∠1，

∴∠4＝∠3，

∴OC∥DB．

∵CE⊥DB，

∴OC⊥CF．

又∵OC为⊙O的半径，

∴CF为⊙O的切线；

（2）连接AD．如图2所示：

∵AB是直径，

∴∠D＝90°，

∴CF∥AD，

∴∠BAD＝∠F，

∴sin∠BAD＝sinF＝，

∴AB＝BD＝6，

∴OB＝OC＝3，

∵OC⊥CF，

∴∠OCF＝90°，

∴sinF＝，

解得：OF＝5．