Question

如图1，在正方形ABCD中，AB=3，E是AD边上的一点(E与A、D不重合)，以BE为边画正方形BEFG，边EF与边CD交于点H.

(1)当E为边AD的中点时，求DH的长；

(2)设DE=x，CH=y，求y与x之间的函数关系式，并求出y的最小值；

(3)若DE=，将正方形BEFG绕点E逆时针旋转适当角度后得到正方形B'EF'G'，如图2，边EF'与CD交于点N、EB'与BC交于点M，连结MN，求∠ENM的度数.

Answer

(1)DH=； (2) ，y的最小值为；(3)∠ENM=60°.

【解析】

（1）根据正方形的性质得到∠D=∠A=∠BEF=90°，根据余角的性质得到∠AEB=∠DHE，根据相似三角形的想知道的，代入数据即可得到结论；

(2) 由第一题的比值代入得，化简整理成二次函数即可,再求出函数的极值；

(3)通过作辅助线，可证△PMC∽△PDE, △PCE∽△PMN,得到∠EMN=∠ECN，从而可在△CED中，求得tan∠ECD值，从而求得∠ECD 角度，∠EMN=∠ECD=30°,所以在Rt△EMN中，利用互余求∠ENM=90°-30°=60°.

∵四边形ABCD和四边形BGFE是正方形，

∴∠D=∠A=∠BEF=90°，

∴∠AEB+∠DEH=∠DEH+∠DHE=90°，

∴∠AEB=∠DHE，

∴△EDH∽△BAE，

∴,

∵E为边AD的中点，

∴DE=AE=1.5，

∴,

∴DH=.

由上得，，

∴，

∴(2分)=.

∵>0,

∴y的最小值为.

(3)

连结CE，延长ME、CD，两线交于点P，

∵在正方形ABCD中，AD∥BC

∴△PMC∽△PED,

∴

变换得：

又∵在Rt△PEN中，

∴

又∵∠P=∠P公共角

∴△PCE∽△PMN,

∴∠EMN=∠ECN

又∵在Rt△CED中，求得tan∠ECD==,

∴∠ECD=30°

∴∠EMN=∠ECD=30°,

∴在Rt△EMN中，∠ENM=90°-30°=60°.