Question

如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5，求BD的长．

Answer

BD＝2.

【解析】

作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．

作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：

则∠M＝90°，

∴∠DCM+∠CDM＝90°，

∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴AC2＝AB2+BC2＝25，

∵CD＝10，AD＝ ，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，

∴∠ACB+∠DCM＝90°，

∴∠ACB＝∠CDM，

∵∠ABC＝∠M＝90°，

∴△ABC∽△CMD，

∴，

∴CM＝2AB＝6，DM＝2BC＝8，

∴BM＝BC+CM＝10，

∴BD＝＝＝，