Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ．若设运动的时间为t秒（0＜t＜2）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP′O，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′O为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x+3；（2）y＝﹣t2+3t；（3）不存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分，理由见解析；（4）存在某一时刻t，使四边形PQP'O为菱形，点Q的坐标是(),菱形PQP′O的边长为．

【解析】

（1）已知了A、B两点的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式．
（2）三角形APQ中，底边AQ的长易知，关键是求P点纵坐标的值；过P作PM⊥OA于M，通过构建的相似三角形得出的成比例线段，可求出PM的长．进而可根据三角形的面积公式求出y，t的函数关系式．
（3）可用分析法求解．先假设存在这样的t值，由于此时PQ将三角形ABO的周长平分，因此BP+BO+OQ=AP+AQ，据此可求出t的值，然后将t的值，代入（2）的函数关系式中，看此时三角形APQ的面积是否等于三角形AOB的面积的一半即可．
（4）如果四边形OPQP′是菱形，那么需要满足的条件是OP=PQ，那么PM垂直平分OQ，此时QM=OQ，可借助OA的长来求t的值．过P作PN⊥OB于N，那么三角形BNP和三角形BOA相似，可求得PN的表达式，也就求出了QM，MO的表达式，可根据OA=OM+QM+AQ来求出此时t的值．进而可求出菱形的边长．

（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴

解得，

∴直线AB的解析式是．

（2）在Rt△AOB中，AB＝＝5，

依题意，得BP＝t，AP＝5﹣t，AQ＝2t，

过点P作PM⊥AO于M，

∵△APM∽△ABO，

∴，

∴，

∴PM＝3﹣t，

∴y＝AQ•PM＝•2t•（3﹣t）＝﹣t2+3t．

（3）不存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分，

若PQ把△AOB周长平分，则AP+AQ＝BP+BO+OQ，

∴（5﹣t）+2t＝t+3+（4﹣2t），

解得t＝1．

若PQ把△AOB面积平分，则S△APQ＝S△AOB，

∴﹣t2+3t＝3，

∵t＝1代入上面方程不成立，

∴不存在某一时刻t，使线段PQ把△AOB的周长和面积同时平分．

（4）存在某一时刻t，使四边形PQP'O为菱形，

过点P作PN⊥BO于N，

若四边形PQP′O是菱形，则有PQ＝PO，

∵PM⊥AO于M，

∴QM＝OM，

∵PN⊥BO于N，可得△PBN∽△ABO，

∴，

∴，

∴PN＝t，

∴QM＝OM＝t，

∴t+t+2t＝4，

∴t＝，

∴当t＝时，四边形PQP′O是菱形，

∴OQ＝4﹣2t＝，

∴点Q的坐标是（，0）．

∵PM＝3﹣t＝，OM＝t＝，

在Rt△PMO中，PO＝＝＝，

∴菱形PQP′O的边长为．