Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，顶点为M．

（1）求b、c的值；

（2）若只沿y轴上下平移该抛物线后与y轴的交点为A₁，顶点为M₁，且四边形AMM₁A₁是菱形，写出平移后抛物线的表达式．

Answer

（1）b=﹣4，c=3；（2）y=x2﹣4x+3+2或y=x2﹣4x+3﹣2．

【解析】

（1）已知抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n的值；

（2）把解析式化成顶点式，求得顶点M的坐标，根据A、M的坐标，易求得AM的长；根据平移的性质知：若四边形A A′B′B为菱形，那么必须满足AA1=AM，由此可确定平移的距离，根据“上加下减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．

（1）抛物线y=x2+bx+c经过A（0，3），B（1，0）两点，则有：解得

故b=﹣4，c=3．

（2）由（1）得：y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1；

∴M（2，﹣1），

∵A（0，3），

∴AM==2，

由平移可知：AA1∥MM1，AA1=MM1，

当AA1=AM=2时，四边形AMM1A1是菱形，

故抛物线需向上或向下平移2个单位，即：

y=x2﹣4x+3+2或y=x2﹣4x+3﹣2．