Question

阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：

1+x+x(x+1)+x(x+1)²=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)²(1+x)=(1+x)³.

(1)上述因式分解的方法是________，共应用了________次；

(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)²+…+x(x+1)²⁰¹⁸，则需应用上述方法______次，结果是________；

(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)²+…+x(x+1)ⁿ(n为正整数).

Answer

(1)提取公因式法；2；(2)2018；(x+1)2019；(3)(1+x)n+1.

【解析】

本题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．

（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．

（2）需应用上述方法2018次，结果是（x+1）2019．

（3）原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n=（x+1）n+x（x+1）n=(1+x)n(1+x)

=(1+x)n+1．