Question

如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm.点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s.连结PO并延长交BC于点Q，设运动时间为t(0＜t＜5)．

(1)当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？

(2)设四边形OQCD的面积为y(cm²)，求y与t之间的函数关系式；

(3)是否存在某一时刻t，使点O在线段AP的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

　　备用图

Answer

（1）当t＝时，四边形ABQP是平行四边形（2）y＝t＋3（3）存在，当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上

【解析】

（1）根据ASA证明△APO≌△CQO，再根据全等三角形的性质得出AP＝CQ＝t，则BQ＝5－t，再根据平行四边形的判定定理可知当AP∥BQ，AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，即t＝5－t，求出t的值即可求解；

（2）过A作AH⊥BC于点H，过O作OG⊥BC于点G，根据勾股定理求出AC＝4，由Rt△ABC的面积计算可求得AH＝，利用三角形中位线定理可得OG=，再根据四边形OQCD的面积y= S△OCD＋S△OCQ＝OC·CD＋CQ·OG，代入数值计算即可得y与t之间的函数关系式；

（3）如图2，若OE是AP的垂直平分线，可得AE＝AP＝，∠AEO＝90°，根据勾股定理可得AE2＋OE2＝AO2，由(2)知：AO＝2，OE＝，列出关于t的方程，解方程即可求出t的值.

(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA＝OC，AD∥BC，

∴∠PAO＝∠QCO.

又∵∠AOP＝∠COQ，

∴△APO≌△CQO，

∴AP＝CQ＝t.

∵BC＝5，

∴BQ＝5－t.

∵AP∥BQ，

当AP＝BQ时，四边形ABQP是平行四边形，

即t＝5－t，∴t＝，

∴当t＝时，四边形ABQP是平行四边形；

(2) 图1

如图1，过A作AH⊥BC于点H，过O作OG⊥BC于点G.

在Rt△ABC中，∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，

∴CO＝AC＝2，

S△ABC＝AB·AC＝BC·AH，

∴3×4＝5AH，

∴AH＝.

∵AH∥OG，OA＝OC，

∴GH＝CG，

∴OG＝AH＝，

∴y＝S△OCD＋S△OCQ＝OC·CD＋CQ·OG，

∴y＝×2×3＋×t×＝t＋3；

图2

(3)存在．

如图2，∵OE是AP的垂直平分线，

∴AE＝AP＝，∠AEO＝90°，

由(2)知：AO＝2，OE＝，

由勾股定理得：AE2＋OE2＝AO2，

∴(t)2＋()2＝22，

∴t＝或－ (舍去)，

∴当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上．

故答案为：（1）当t＝时，四边形ABQP是平行四边形（2）y＝t＋3（3）存在，当t＝时，点O在线段AP的垂直平分线上.