Question

如图，在△ABC中，AB=BC，AD⊥BC于点D，点E为AC中点，连接BE交AD于点F，且BF=AC，过点D作DG∥AB，交AC于点G．

求证：（1）∠BAD=2∠DAC    （2）EF=EG．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

试题

（1）由AB=AC，E是AC的中点，可得BE⊥AC，∠DBA=2∠DBF；结合AD⊥BC可证得∠DBF=∠DAC，从而可证△BDF≌△ADC，得到AD=BD，

∴∠DAB=∠DBA=2∠DBF=2∠DAC；

（2）如图，延长BE、DG交于点K，①由DG∥AB和BE平分∠ABC可得∠K=∠DAK=∠DAC，从而可得DK=DB=DA；②由AB=BC，DG∥AB可得∠DGC=∠C，从而可得DG=DC=DF，由①②可得AD-DF=DK-DG，即AF=KG，最后通过证△AEF≌△KEG可得EF=EG.

试题解析：

（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠BDF=90°，

∵AB=BC，E为AC的中点，

∴∠DBA=2∠CBE，BE⊥AC，

∴∠BEC=90°，

∴180°-∠C-∠ADC=180°-∠C-∠BEC，

即∠DBF=∠CAD，

在△BDF和△ADC中，

∠BDF=∠ADC=90°，∠DBF=∠CAD，BF=AC，

∴△BDF≌△ADC，

∴BD=AD，

∴∠BAD=∠ABD=2∠CBE=2∠DAC。

（2）延长BE、DG交于点k,

∵DG//AB，

∴∠CGD=∠CAB，∠k=∠ABE，

∵∠BAC=∠C,

∴∠CGD =∠C,

∵∠K=∠CBE=∠CAD,

∠AEF=∠KEG=90°，∠EAF=∠EKG，

∴DG=DC，DK=BD，

∴DG=DF，DK=BD=AD，

∴DK-DG=AD-DF，即GK=AF，

在Rt△AEF和Rt△KEG中，

∠AEF=∠KEG=90°，∠EAF=∠K，AF=GK，

∴Rt△AEF≌ Rt△KEG,

∴EF=EG.