Question

已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BCD＝28°．

（I）如图①，求∠ABD的大小；

（Ⅱ）如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．

Answer

（I）∠ABD＝62°；（Ⅱ）∠OCD=28°．

【解析】

（Ⅰ）根据圆周角定理可求∠ACB＝90°，即可求∠ABD的度数；

（Ⅱ）根据切线的性质可得∠ODP＝90°，且∠POD＝2∠BCD＝56°，即可求∠P＝34°，根据平行线性质和等腰三角形的性质可求∠OCD的度数．

【解析】
（Ⅰ）∵AB是直径，

∴∠ACB＝90°，且∠BCD＝28°，

∴∠ACD＝62°，

∵∠ACD＝∠ABD，

∴∠ABD＝62°；

（Ⅱ）连接OD，

∵DP是⊙O的切线，

∴∠ODP＝90°，

∵∠DOB＝2∠DCB，

∴∠DOB＝2×28°＝56°，

∴∠P＝34°，

∵AC∥DP，

∴∠P＝∠OAC＝34°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA＝34°，

∴∠COB＝∠OAC+∠OCA＝68°，

∴∠COD＝∠COB+∠DOB＝124°

∵CO＝DO

∴∠OCD＝∠ODC＝28°