Question

阅读下列材料

下面是小明同学“作一个角等于的直角三角形”的尺规作图过程．

已知：线段(如图1)

求作：，使，，

作法：如图2，

(1)分别以点，点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接

(2)连接并延长，使得；

(3)连接

就是所求的直角三角形

证明：连接．

由作图可知，，

∴是等边三角形(等边三角形定义)

∴(等边三角形每个内角都等于)

∴

∴(等边对等角)

在中，(三角形的内角和等于)

∴

∴(三角形的内角和等于)，即，

∴就是所求作的直角三角形

请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于的直角三角形”的尺规作图过程(保留作图痕迹)，并写出作法，证明，及推理依据．

Answer

作图见解析，证明见解析.

【解析】

(1)延长至，使；(2)分别以点，点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；(3)连接．根据作图过程，连接CD，得到△DBC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠B=60°，根据等腰三角形的性质证明即可．

作法：(1)延长至，使；

(2)分别以点，点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；

(3)连接．

则就是所求的直角三角形，

证明：连接．

由作图可知，，

∴是等边三角形，

∴，

∵，，

∴，

∴就是所求作的直角三角形．