Question

如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB＝cos∠DAC.

（1）求证：AC＝BD；

（2）若sin C＝，BC＝12，求△ABC的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）△ABC的面积为48.

【解析】

(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．

∴∠ADB=90°，∠ADC=90°． …………………………………………1分

在Rt△ABD和Rt△ADC中，

∵=，=…………………………………………3分

又已知

∴=．∴AC=BD． ………………………………4分

(2)在Rt△ADC中，，故可设AD=12k，AC=13k．

∴CD==5k．………………………………5分

∵BC=BD+CD，又AC=BD，

∴BC=13k+5k=18k ………………………………6分

由已知BC=12， ∴18k=12．∴k=． ………………………………7分

∴AD=12k=12=8． ……………………………8分

（1）在直角三角形中，表示，根据它们相等，即可得出结论

（2）利用和勾股定理表示出线段长，根据，求出长