Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC的中点，AB =DE，BE∥AC．

（1）求证：△ABC≌△DEB；

（2）连结AD、AE、CE，如图2．

①求证：CE是∠ACB的角平分线；

②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．

Answer

（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE是等腰三角形，理由详见解析.

【解析】

（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=BC，D是BC中点可得AC=BD，利用HL即可证明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS可证明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可证明△ABE是等腰三角形.

（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC

∴∠CBE=90°

∴△ABC和△DEB都是直角三角形

∵AC=BC，点D为BC的中点

∴AC=BD

又∵AB=DE

∴△ABC≌△DEB（H.L.）

（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB

∴BC=EB

又∵∠CBE=90°

∴∠BCE=45°

∴∠ACE=90°-45°=45°

∴∠BCE=∠ACE

∴CE是∠ACB的角平分线

②△ABE是等腰三角形，理由如下：

在△ACE和△DCE中

∴△ACE≌△DCE（SAS）.

∴AE=DE

又∵AB=DE

∴AE=AB

∴△ABE是等腰三角形