Question

如图1，已知正方形ABCD的边长为5，点E在边AB上，AE=3，延长DA至点F，使AF=AE，连结EF．将△AEF绕点A顺时针旋转（0°＜＜90°），如图2所示，连结DE、BF．

（1）请直接写出DE的取值范围：_______________________；

（2）试探究DE与BF的数量关系和位置关系，并说明理由；

（3）当DE=4时，求四边形EBCD的面积．

Answer

（1）DE的取值范围：2＜DE＜；（2）DE=BF，DE⊥BF，理由详见解析；（3）当DE=4时，四边形EBCD的面积为14.5．

【解析】

（1）根据点E在AB边上和在AD边上时DE分别为最大值和最小值解答即可；（2）延长DE，交AB于点G，交BF于点H，易得∠EAD=∠FAB，根据SAS可证明△EAD≌△FAB，即可得DE=BF，∠ADE=∠ABF，根据∠AGD=∠BGH，∠ADE+∠AGD=90°可得∠ABF+∠BGH=90°进而可得∠BHG=90° 即DE⊥BF；（3）由AE=3，DE=4，AD=5可得△AED是直角三角形，由（2）得△EAD≌△FAB，可知∠AFB=∠AED=90°，BF=DE=4，，由∠EAF=90°可得AE//BF，进而可求出四边形ABEF得面积，根据 即可得答案.

（1）∵点E在AB边上和在AD边上时DE分别为最大值和最小值，

∴，5-3=2，

∴DE的取值范围：2＜DE＜；

（2）DE=BF，DE⊥BF，理由如下：

延长DE，交AB于点G，交BF于点H

∵∠BAD=∠FAE=90°

即∠BAE+∠EAD=∠BAE+∠FAB=90°

∴∠EAD=∠FAB

在△EAD和△FAB中

∴△EAD≌△FAB

∴DE=BF，∠ADE=∠ABF

又∵∠AGD=∠BGH，∠ADE+∠AGD=90°

∴∠ABF+∠BGH=90°

∴∠BHG=90° 即DE⊥BF

（3）∵AE=3，DE=4，AD=5

∴

∴△ADE为直角三角形，∠AED=90°

由（2）得△EAD≌△FAB

∴∠AFB=∠AED=90°，BF=DE=4，

又∵∠EAF=90°

∴AE∥BF

∴四边形AEBF的面积为：==10.5

∴=10.5

∴ 52-10.5=14.5

答：当DE=4时，四边形EBCD的面积为14.5．