Question

如图，在平面直角坐标系中，直线是第一、三象限的角平分线.

（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：___________、___________；

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线的对称点的坐标为___________（不必证明）；

（3）已知两点、，试在直线L上画出点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，求QD+QE的最小值．

Answer

（1）,.（2）（3）

【解析】

（1）根据对称轴为第一、三象限的角平分线，结合图形得出B′、C′两点坐标；

（2）由（1）的结论，并与B、C两点坐标进行比较，得出一般规律；

（3）由轴对称性作出满足条件的Q点，结合勾股定理，得出结论．

（1）如图，由点关于直线y=x轴对称可知：B'（3，5），C'（5，-2）．

故答案为：（3，5），（5，-2）；

（2）由（1）的结果可知，

坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为 （b，a）．

故答案为：（b，a）；

（3）由（2）得，D（1，-3）关于直线l的对称点D'的坐标为（-3，1），连接D'E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小，D'E==，

∴QD+QE的最小值为：．