Question

如图，抛物线与轴交、两点（点在点左侧），直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为2.

（1）求、两点的坐标及直线的函数表达式；

（2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；

（3）点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由.

Answer

（1），，。（2）。（3），，，.

【解析】

（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；

（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp-yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；

（3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．

（1）令y=0，解得x1=-1或x2=3，

∴A（-1，0）B（3，0），

将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3得y=-3，

∴C（2，-3），

∴直线AC的函数解析式是y=-x-1；

（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2），

则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），

E（x，x2-2x-3），

∵P点在E点的上方，PE=（-x-1）-（x2-2x-3）=-x2+x+2=-（x-）2+，

∴当x=时，PE的最大值=；

（3）存在4个这样的点，分别是，，，.

①如图1，

连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；

②如图2，

AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；

③如图3，

此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），

设直线GF的解析式为y=-x+h，

将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+，

因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；

④如图4，

同③可求出F的坐标为（4-，0）．

总之，符合条件的F点共有4个．