Question

如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动．点P、Q分别从起点同时出发，移动到某一位置时所需时间为t秒．

（1）当t＝2时，求线段PQ的长度；

（2）当t为何值时，△PCQ的面积等于5cm²？

（3）在P、Q运动过程中，在某一时刻，若将△PQC翻折，得到△EPQ，如图2，PE与AB能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．

Answer

（1）cm；（2）当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2；（3）能垂直，理由见解析.

【解析】

试题（1）当t=2时，可求出CP，CQ的长，根据勾股定理即可求出线段即斜边PQ的长；

（2）由三角形面积公式可建立关于t的方程，解方程求出t的值即可；

（3）延长QE交AC于点D，若PE⊥AB，则QD∥AB，所以可得△CQD∽△CBA，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出DE=0.5t，易证△ABC∽△DPE，再由相似三角形的性质可得，把已知数据代入即可求出t的值．

【解析】
（1）当t=2时，

∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，

∴AP=2厘米，QC=4厘米，

∴PC=4，在Rt△PQC中PQ==厘米；

（2）∵点P从A出发沿AC向C点以1厘米/秒的速度匀速移动；点Q从C出发沿CB向B点以2厘米/秒的速度匀速移动，

∴PC=AC﹣AP=6﹣t，CQ=2t，

∴S△CPQ=CP•CQ=，

∴t2﹣6t+5=0

解得t1=1，t2=5（不合题意，舍去）

∴当t=1秒时，△PCQ的面积等于5cm2；

（3）能垂直，理由如下：

延长QE交AC于点D，

∵将△PQC翻折，得到△EPQ，

∴△QCP≌△QEP，

∴∠C=∠QEP=90°，

若PE⊥AB，则QD∥AB，

∴△CQD∽△CBA，

∴，

∴，

∴QD=2.5t，

∵QC=QE=2t

∴DE=0.5t

易证△ABC∽△DPE，

∴

∴，

解得：t=（0≤t≤4），

综上可知：当t=时，PE⊥AB．