Question

在平面直角坐标系中，点A(x，y)，点A′(x′，y′)，若x′＝x＋m，y′＝y＋n，即点A′(x＋m，y＋n)，则表示点A到点A′的一个平移．例如：点A(x，y)，点A′(x′，y′)，若x′＝x＋1，y′＝y－2，则表示点A向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点A′.

根据上述定义，探究下列问题：

(1)已知点A(x，y)，A′(x－3，y)，则线段AA′的长度是多少；

(2)已知点A(x，y)，A′(x＋2，y－1)，则线段AA′的长度是多少；

(3)长方形AOCB在平面直角坐标系中的位置如图所示，A(0，2)，C(4，0)，点A′(x′，y′)，若x′＝x＋m，y′＝y－2m(m均为正数)，点A′(x′，y′)能否在△OCB的直角边上？若能，求m的值；若不能，请说明理由．

Answer

(1)线段AA′的长度是3；(2)线段AA′的长度是；(3) 当m＝1时，点A′(x′，y′)在△OCB的直角边上．

【解析】

（1）由点A（x，y），A′（x－3，y），则点A向左平移3个单位得到点A′，所以线段AA′的长度是3；
（2）由点A（x，y），A′（x＋2，y－1），则点A向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到点A′，根据勾股定理即可求出线段AA′的长度；
（3）由点A′的坐标为(m，2－2m), 假设点A′在边OC上时求出m，检验A′是否在边OC上，若点A′在边BC上，检验A′是否在边BC上即可求解．

(1)已知点A(x，y)，A′(x－3，y)，线段AA′的长度是3；

(2)已知点A(x，y)，A′(x＋2，y－1)，线段AA′的长度是；

(3)∵A(0，2)，A′(x′，y′)，∴x′＝x＋m＝m，y′＝y－2m＝2－2m.

∴点A′的坐标为(m，2－2m)．

若点A′在边OC上，则2－2m＝0，解得m＝1，此时点A′的坐标为(1，0)．

∵C(4，0)，∴当m＝1时，点A′在边OC上．

若点A′在边BC上，则m＝4，此时点A′的坐标为(4，－6)，在第四象限，

∴当m＝4时，点A′不在边BC上．

综上：当m＝1时，点A′(x′，y′)在△OCB的直角边上．