Question

如图，过点的抛物线的对称轴是，点是抛物线与轴的一个交点，点在轴上，点是抛物线的顶点.

（1）求、的值；

（2）当是直角三角形时，求的面积；

（3）设点在直线下方且在抛物线上，点、在抛物线的对称轴上（点在点的上方），且，过点作轴的平行线交直线于点，当最大时，请直接写出四边形的周长最小时点、、的坐标.

Answer

（1），（2）或，（3），，.

【解析】

（1）把点代入抛物线得，再根据对称轴是，即可求出a、b的值；（2）设点的坐标是，根据抛物线得顶点的坐标是，点的坐标是，再根据是直角三角形分三种情况讨论利用勾股定理来求出相应的m值；（3）设P点（x，），Q（x,）,求得 ，当时，最大，此时点坐标是，要使四边形的周长最小，已求出，为定长，，故只需最小即可，

将点向下平移3个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线与对称轴的交点就是符合条件的点，此时四边形的周长最小，利用待定系数法确定过和点的直线，求出与二次函数对称轴的交点即为N点，点的坐标为，故可求出点、、的坐标

【解析】
（1）∵过点的抛物线的对称轴是，

∴解之，得

（2）设点的坐标是.由（1）可得抛物线，

∴抛物线的顶点的坐标是，点的坐标是.

当时，有.

∴，解之，得，

∴；

当时，有.

∴，解之，得，

∴；

当时，有.

∴，此方程无解.

综上所述，当为直角三角形时，的面积是或.

（3）设直线过点，可得直线.

由（1）可得抛物线，设P点（x，），Q（x,）

∴ ，

∴当时，最大，此时点坐标是.

∴最大时，线段为定长.

∵，∴要使四边形的周长最小，只需最小.

将点向下平移3个单位长度，得点，作点关于抛物线的对称轴的对称点，直线与对称轴的交点就是符合条件的点，此时四边形的周长最小.

设直线过点和点，则解之，得

∴直线过点和点.

解方程组得

∴点的坐标为，∴点的坐标为，

所以点、、的坐标分别为，，.