Question

如图，在直角坐标系中，抛物线y＝﹣（x+1）²+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．

（1）写出抛物线顶点D的坐标　   　；

（2）点D₁是点D关于y轴的对称点，判断点D₁是否在直线AC上，并说明理由；

（3）若点E是抛物线上的点，且在直线AC的上方，过点E作EF⊥x轴交线段AC于点F，求线段EF的最大值．

Answer

(1) （﹣1，4）；(2)见解析;(3) 2.25.

【解析】

（1）根据二次函数的解析式直接写出即可；

（2）先根据二次函数求出A、C的坐标，再用待定系数法确定直线AC的关系式，再求出

点D1，把它代入直线判断是否再直线上；

（3）设点E（x，﹣x2﹣2x+3），F（x，x+3），则EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1.5）2+2.25， 则可知x=-1.5时，EF的最大值2.25.

【解析】
（1）∵y＝﹣（x+1）2+4，

∴抛物线顶点D的坐标是（﹣1，4）．

故答案为（﹣1，4）；

（2）点D1在直线AC上，理由如下：

∵抛物线y＝﹣（x+1）2+4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，

∴当y＝0时，﹣（x+1）2+4＝0，解得x＝1或﹣3，A（﹣3，0），B（1，0），

当x＝0时，y＝﹣1+4＝3，C（0，3）．

设直线AC的解析式为y＝kx+b，

由题意得，解得，

∴直线AC的解析式为y＝x+3．

∵点D1是点D关于y轴的对称点，D（﹣1，4）．

∴D1（1，4），

∵x＝1时，y＝1+3＝4，

∴点D1在直线AC上；

（3）设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则F（x，x+3），

∵EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1.5）2+2.25，

∴线段EF的最大值是2.25．