Question

如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，若PR＝PS，则下列结论正确的个数是（　　）

（1）PQ＝PB； （2）AS＝AR；（3）△BRP≌△PSC （4）∠C＝∠SPC

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

Answer

A

【解析】

根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP平分∠BAC，由直角三角形全等的判定方法得出Rt△ARP≌Rt△ASP，从而判断出（2）正确；根据由一组边相等和一组角相等无法判断△BRP≌△PSC，从而判断出（3）错误；同（3）也无法判断△BRP≌△PSQ，所以PQ≠PB，从而判断出（1）错误；△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，所以∠C与∠SPC不一定相等，从而判断出（4）错误.

连接AP，

∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，

∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，

∴∠SAP＝∠RAP，

在Rt△ARP和Rt△ASP中，，

∴Rt△ARP≌Rt△ASP，（HL），

∴AR＝AS，∴（2）正确；

∵PR＝PS，∠PRB＝∠PSC＝90°，

∴无法判断△BRP≌△PSC，故（3）错误；

∵∠PRB＝∠PSQ＝90°，PR＝PS，

无法判断△BRP≌△PSQ，

∴PQ≠PB，故（1）错误；

∵△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，

∴∠C与∠SPC不一定相等，故（4）错误；

故选：A．