Question

已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，AD平分∠CAB交BC于D，E为射线AC上的一个动点，EF⊥AD交射线AB于点F，联结DF．

（1）求DB的长；

（2）当点E在线段AC上时，设AE＝x，S_△BDF＝y，求y关于x的函数解析式；（S_△BDF表示△BDF的面积）

（3）当AE为何值时，△BDF是等腰三角形．（请直接写出答案，不必写出过程）

Answer

（1）BC＝4；（2）y＝﹣x+12（0≤x≤6）；（3）当AE的值为0或12﹣4或12+4时，△BDF是等腰三角形．

【解析】

（1）根据含30度角的直角三角形可得AB、BC的长，由AD平分∠CAB可得∠CAD＝∠CAB＝30°，解直角三角形可得CD的长，则DB＝BC﹣CD；

（2）如图1中，作DH⊥AB于H，根据角平分线的性质可得DC＝DH＝2，再根据已知AD平分∠CAB，EF⊥AD证出∠AEG＝∠AFG，则AE＝AF＝x，BF＝12﹣x，由三角形的面积计算公式即可得y关于x的函数解析式，注意x的取值范围；

（3）分三种情况：①当点E与A重合时，△BDF是等腰三角形，②当点E在线段AC上，BD＝BF时，△BDF是等腰三角形，③当点E在线段AC的延长线上，BF＝BD时，△BDF是等腰三角形，分别求出AE的值即可.

（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝6，

∴∠CAB＝60°，AB＝2AC＝12，BC＝AC＝6，

∵AD平分∠CAB交BC于D，

∴∠CAD＝∠CAB＝30°，

∴CD＝AC•tan30°＝2，

∴DB＝BC﹣CD＝6﹣2＝4；

（2）如图1中，作DH⊥AB于H．

∵DA平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，

∴DC＝DH＝2，

∵EF⊥AD，

∴∠AGE＝∠AGF＝90°，

∵∠EAG＝∠FAG，∠AEG+∠EAG＝90°，∠AFG+∠FAG＝90°，

∴∠AEG＝∠AFG，

∴AE＝AF＝x，

∴BF＝12﹣x，

∴S△BDF＝•BF•DH＝（12﹣x）•2＝﹣x+12（0≤x≤6），

即y=﹣x+12（0≤x≤6）；

（3）①当点E与A重合时，△BDF是等腰三角形，此时x＝0，即AE＝0．

②如图2中，当BD＝BF时，

∵BD＝4，

∴BF＝4，

∴AE＝AF＝AB﹣BF＝12﹣4，

③如图2中，当BF＝BD=4时，

∴AE＝AF′＝AB+BF′＝12+4，

综上所述，当AE的值为0或12﹣4或12+4时，△BDF是等腰三角形．

故答案为：（1）BC＝4；（2）y＝﹣x+12（0≤x≤6）；（3）当AE的值为0或12﹣4或12+4时，△BDF是等腰三角形．