Question

如图，已知直线y＝x与双曲线y＝交于A、B两点，且点A的横坐标为．

（1）求k的值；

（2）若双曲线y＝上点C的纵坐标为3，求△AOC的面积；

（3）在坐标轴上有一点M，在直线AB上有一点P，在双曲线y＝上有一点N，若以O、M、P、N为顶点的四边形是有一组对角为60°的菱形，请写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer

（1）k=（2）（3）（1，）或（﹣1，﹣）；（3，）或（﹣3，﹣）

【解析】

（1）先求的A点纵坐标，然后用待定系数法求解即可；

（2）先求出C点坐标，再用待定系数法求的直线AC的解析式，然后求得直线AC与x的交点坐标，再根据求解即可；

（3）设点坐标，根据题意用关于a的式子表示出N的坐标，再根据菱形的性质得，求出a的值即可.

把x=代入，得y=，

∴A（，1），

把点代入，解得：；

∵把y=3代入函数，得x=，

∴C，

设过，两点的直线方程为：，

把点，，代入得：

，

解得：，

∴，

设与轴交点为，

则点坐标为，

∴；

设点坐标，由直线解析式可知，直线与轴正半轴夹角为，

∵以、、、为顶点的四边形是有一组对角为的菱形，在直线上，

∴点只能在轴上，

∴点的横坐标为，代入，解得纵坐标为：，

根据，即得：，

解得：．

故点坐标为：或．