Question

如图，已知正方形纸片ABCD的边长为8，⊙O的半径为2，圆心在正方形的中心上，将纸片按图示方式折叠，使EA′恰好与⊙O相切于点A′(△EFA′与⊙O除切点外无重叠部分)，延长FA′交CD边于点G，则A′G的长是(　　)

A. 6    B.     C. 7    D.

Answer

B

【解析】

连AC,过F作FH⊥CD于H. 由题干条件易证明点F、A'、O共线,即FG过圆心O，再由∠A=∠COG、∠AOF=∠COG可证明△COG≌AOF，得AF=CG、OF=OG；设FA=x，将FG和HG用含x式子表示，在RT△FGH中运用勾股定理即可求解.

【解析】

由题干条件可知FA=FA’，∠A=∠EA’F，再由EA′恰好与⊙O相切于点A′可得OA’⊥EA’，则点F、A'、O共线,即FG过圆心O，则OA=OC；

再由∠A=∠COG、∠AOF=∠COG可证明△COG≌AOF，则AF=CG、OF=OG，再由OA’=ON可得FA’=GN；

设FA=x，则FA=FA’=DH=CG=GN=x，FG=GA’+A’N+NG=2x+4，HG=DC-DH-CG=8-2x，

在RT△FGH中，FG2=FH2+HG2，则(2x+4)2=82+(8-2x)2，解得x=，

则A’G=A’N+NG=4+=，

故选择B.