Question

已知二次函数y＝ax²+bx+c，当x＝3时，y有最小值﹣4，且图象经过点(﹣1，12)．

(1)求此二次函数的解析式；

(2)该抛物线交x轴于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，在抛物线对称轴上有一动点P，求PA+PC的最小值，并求当PA+PC取最小值时点P的坐标．

Answer

(1) y＝x2﹣6x＋5；(2) 当点P的坐标为（3，2）时，PA＋PC取最小值，最小值为5．

【解析】

（1）由顶点坐标将二次函数的解析式设成y=a（x-3）2-4，由该函数图象上一点的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B、C的坐标，由二次函数图象的对称性可得出连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，根据点B、C的坐标可求出直线BC的解析式及线段BC的长度，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标，此题得解．

（1）∵当x=3时，y有最小值-4，

∴设二次函数解析式为y=a（x-3）2-4．

∵二次函数图象经过点（-1，12），

∴12=16a-4，

∴a=1，

∴二次函数的解析式为y=（x-3）2-4=x2-6x+5．

（2）当y=0时，有x2-6x+5=0，

解得：x1=1，x2=5，

∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0）；

当x=0时，y=x2-6x+5=5，

∴点C的坐标为（0，5）．

连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PA+PC取最小值，最小值为BC，如图所示．

设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），

将B（5，0）、C（0，5）代入y=mx+n，得：

，解得：，

∴直线BC的解析式为y=-x+5．

∵B（5，0）、C（0，5），

∴BC=5．

∵当x=3时，y=-x+5=2，

∴当点P的坐标为（3，2）时，PA+PC取最小值，最小值为5．